一、微分中值定理类

罗尔中值定理：

若函数$f（x）$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$（a,b）$内可导，且$f（a）=f（b）$，则存在$\xi\in（a,b）$，使得$f'（\xi）=0$。

拉格朗日中值定理：

若函数$f（x）$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$（a,b）$内可导，则存在$\xi\in（a,b）$，使得$f（b）-f（a）=f'（\xi）（b-a）$。

柯西中值定理：

若函数$f（x）$与$g（x）$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$（a,b）$内可导，且$g'（x）\neq0$，则存在$\xi\in（a,b）$，使得$\frac{f（b）-f（a）}{g（b）-g（a）}=\frac{f'（\xi）}{g'（\xi）}$。

泰勒中值定理：

若函数$f（x）$在点$x_0$处$n$阶可导，则存在$\xi\in（x_0,x）$（或$x\in（x_0,x_0）$），使得$f（x）=f（x_0）+f'（x_0）（x-x_0）+\frac{f''（x_0）}{2!}（x-x_0）^2+...+\frac{f^{（n）}（\xi）}{n!}（x-x_0）^n$。

二、傅立叶变换类

连续傅立叶变换：

将函数$f（t）$表示为三角函数的正弦和余弦函数线性组合，公式为$f（t）=\int_{-\infty}^{\infty}F（\omega）e^{i\omega t}d\omega$。

离散傅立叶变换：

将离散信号表示为离散三角函数组合，公式为$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2}X[k]e^{i2\pi kn/N}$。

三、特殊函数类

欧拉恒等式：

$e^{i\pi}+1=0$，将自然对数的底$e$、圆周率$\pi$、虚数单位$i$和1联系在一起。

高斯积分：

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$，在概率论和傅里叶变换中有重要应用。

四、三角函数类

倍角公式：

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$等。

和差角公式：

$\sin（\alpha\pm\beta）=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$，$\cos（\alpha\pm\beta）=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$。

注：以上公式仅为大学数学中常见高级公式的缩略整理，实际应用中还需结合具体问题选择合适定理或变换。建议结合教材或专业课程深入学习。