达朗贝尔判别法，也称为比值判别法，是一种用于判断正项级数是否收敛的方法。其基本思想是考虑级数相邻两项的比值，并判断该比值的极限行为。具体来说，对于正项级数 \（\sum a_n\），如果存在极限 \（\rho\），则：

当 \（\rho < 1\） 时，级数收敛；

当 \（\rho > 1\） 时，级数发散；

当 \（\rho = 1\） 时，判别法失效。

达朗贝尔判别法的证明通常采用数学归纳法。首先，证明对于 \（n=1\） 时，判别法成立。然后，假设对于任意 \（k\） 阶的二次型矩阵 \（A\），判别法成立，接着证明对于 \（n=k+1\） 时，判别法仍然成立。通过这样的归纳步骤，可以证明达朗贝尔判别法对于所有正项级数都是有效的。

另一个证明方法则是利用放缩法来构造一个等比级数，并判定该等比级数的敛散性。具体来说，通过放缩法，可以将级数的一般项 \（a_n\） 表达为与某个已知敛散性的级数相关联的形式，从而判断新级数的敛散性。

在实际应用中，达朗贝尔判别法常用于判断几何级数、p级数等常见级数的敛散性。例如，对于几何级数 \（\{a^n\}\），如果公比 \（a\） 的绝对值小于1，则该级数收敛；如果 \（a\） 的绝对值大于1，则级数发散。

需要注意的是，达朗贝尔判别法并不适用于所有类型的级数。例如，对于交错级数，如 \（\{（-1）^n\}\），尽管每一项都小于或等于前一项，但该级数并不收敛。因此，在使用达朗贝尔判别法时，需要考虑其适用范围和局限性。