互相比赛争取优胜的词语有很多，以下是一些常见的成语：

斗智斗力：

用智谋来争胜负，凭力气分胜负。

斗丽争妍：

竞相比赛艳丽。

斗艳争妍：

竞相比赛艳丽。

斗媚争妍：

竞相比赛妩媚艳丽。

斗色争妍：

形容花盛开，竞相逞美。

决一雌雄：

较量一下胜败高低。

中原逐鹿：

指群雄并起，争夺天下。

龙争虎斗：

形容斗争或竞赛很激烈。

鹿死谁手：

在竞赛中不知谁会取得最后的胜利。

八仙过海，各显其能：

比喻做事各有各的一套办法，也比喻各自拿出本领互相比赛。

避烦斗捷：

指避开烦难而比赛简捷。

打成平手：

比赛中打成平局，不分胜负。

丢车保帅：

象棋比赛的战术，比喻牺牲比较重要的东西保护最重要的。

斗美夸丽：

指比赛美丽以争胜。

交锋：

与对手较量，双方比赛。

拼搏：

尽全力去争夺。

助威：

帮助增加声势，提高士气。

夺魁：

夺冠，取得第一。

督战：

在前线监督作战。

挑战：

鼓动对方与自己竞赛。

各不相让：

互不谦让、让步。

金鼓齐鸣：

金钲战鼓一齐响起，形容战斗气氛紧张激烈。

你追我赶：

形容竞赛激烈，大家都不甘落后。

枪林刀树：

犹言刀枪林立，形容激烈战斗的场面。

这些成语都可以用来形容比赛或竞争，具体使用哪个成语可以根据语境和需要表达的细微差别来选择。