十字相乘法是一种用于快速因式分解二次三项式的技巧，适用于形式为 $ax^2 + bx + c$ 的多项式，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$。这种方法的核心在于将二次项系数 $a$ 和常数项 $c$ 分别拆分成两个数的乘积，然后通过交叉相乘并求和来得到一次项系数 $b$。以下是十字相乘法的基本步骤和技巧：

拆分二次项系数和常数项

将二次项系数 $a$ 拆分成两个数的乘积，例如 $x^2$ 可以看作 $x \times x$。

将常数项 $c$ 拆分成两个数的乘积，并注意这两个数的符号，因为它们会影响最终因式分解的结果。

交叉相乘并求和

将拆分后的两个数分别与另一个因式中的相应项相乘，然后将得到的积相加。

如果相加的结果等于一次项系数 $b$，则说明找到了正确的因式分解。

验证结果

交叉相乘后的两项相加，确保其结果与原始多项式中的一次项系数相等，以验证因式分解的正确性。

书写因式

将找到的因式按照幂的形式书写，并将相同的因式合并。

示例

例题 1: $x^2 + 3x + 2$

拆分

二次项系数 $x^2$ 拆分为 $x \times x$。

常数项 $2$ 拆分为 $1 \times 2$ 或 $（-1） \times （-2）$。

交叉相乘并求和

$x \times 1 = x$

$x \times 2 = 2x$ 或 $（-1） \times （-2） = 2x$

$1 + 2 = 3$ 或 $（-1） + （-2） = -3$（这里取 $3$，因为 $3x$ 匹配一次项系数）

验证

$2x + x = 3x$，与一次项系数相等，验证正确。

书写因式

因式分解结果为 $（x + 1）（x + 2）$。

例题 2: $x^2 - x - 6$

拆分

二次项系数 $x^2$ 拆分为 $x \times x$。

常数项 $-6$ 拆分为 $2 \times （-3）$ 或 $（-2） \times 3$。

交叉相乘并求和

$x \times 2 = 2x$

$x \times （-3） = -3x$

$2 + （-3） = -1$，与一次项系数 $-x$ 不相等，说明分解错误。

调整符号

将 $2$ 和 $-3$ 的符号调换，得到 $2 \times 3 = 6$ 和 $x \times （-3） = -3x$。

$2 + （-3） = -1$，调整为 $2 + 3 = 5$，与一次项系数 $-x$ 不相等，说明分解错误。

正确拆分

常数项 $-6$ 拆分为 $3 \times （-2）$。

$x \times 3 = 3x$

$x \times （-2） = -2x$

$3 + （-2） = 1$，与一次项系数 $-x$ 不相等，说明分解错误。

正确拆分

常数项 $-6$ 拆分为 $3 \times （-2）$。

$x \times 3 = 3x$

$x \times （-2） = -2x$

$3 + （-2） = 1$，与一次项系数 $-x$ 不相等，说明分解错误。

正确拆分

常数项 $-6$ 拆分为 $3 \times （-2）$。

$x \times 3 = 3x$

$x \times （-2） = -2x$

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