张益唐通过以下方法证明了弱孪生素数猜想：

存在无穷多对相差小于7000万的素数：

张益唐首先证明了存在无穷多对素数，这些素数对的差小于7000万。这一结果虽然不直接证明孪生素数猜想，但为孪生素数猜想提供了一个重要的弱化形式。

素数检测机器：

张益唐开发了一种新的“素数检测机器”，通过这种机器，他能够在7000万单位长的“洗矿槽”中检测出无穷多个远亲素数对。这种机器的使用极大地提高了素数检测的效率。

结合数论、复分析和概率论：

张益唐的证明方法融合了数论、复分析和概率论的思想，特别是利用了Siegel零点。Siegel零点在数学界和密码学等领域有着重要的应用。

严谨细密的论证：

张益唐的论文《素数间的有界距离》通过严谨细密的论证，得出了有无数对相邻素数的存在，而它们的差相差不超过7000万。这一结论突破了困扰数学界近两个世纪的难题——孪生素数猜想。

综上所述，张益唐通过一系列创新性的数学方法和工具，成功证明了弱孪生素数猜想，为数学界带来了重大突破。