两圆公共弦的直线方程可以通过两圆方程相减得到，这一结论的推导基于代数几何的基本原理。以下是详细解释：

一、两圆方程相减的几何意义

交点共线性质

设两圆的方程分别为：

$$

C_1: x^2 + y^2 + d_1x + e_1y + f_1 = 0

$$

$$

C_2: x^2 + y^2 + d_2x + e_2y + f_2 = 0

$$

若两圆相交于两点 $（x_1, y_1）$ 和 $（x_2, y_2）$，则这两个点同时满足两个圆的方程，即：

$$

x_1^2 + y_1^2 + d_1x_1 + e_1y_1 + f_1 = 0

$$

$$

x_1^2 + y_1^2 + d_2x_1 + e_2y_1 + f_2 = 0

$$

两式相减得：

$$

(d_1 - d_2)x + (e_1 - e_2)y + (f_1 - f_2) = 0

$$

该方程为一次方程，表示一条直线。由于 $（x_1, y_1）$ 和 $（x_2, y_2）$ 都满足此方程，因此该直线即为两圆的公共弦所在的直线。

二次项消去的必要性

两圆方程相减后，二次项 $x^2$ 和 $y^2$ 被消去，结果为一次方程，这表明相减后的方程代表直线而非圆。若保留二次项，则得到的方程表示的是过两圆交点的圆系方程。

二、数学原理与推导

代数验证

设两圆交点为 $（x, y）$，则满足：

$$

C_1(x, y) = C_2(x, y) = 0

$$

相减后得到的方程 $（d_1 - d_2）x + （e_1 - e_2）y + （f_1 - f_2） = 0$ 必然成立，说明该直线包含两交点。

几何验证

两圆相交时，公共弦是连接两交点的唯一直线。通过代数方法得到的直线方程与几何定义一致。

三、补充说明

特殊情况

若两圆相切（内切或外切），相减后得到的直线可能是公切线方程（当两圆半径相等时）。但题目中明确讨论相交情况，因此公共弦方程适用。

圆系方程

当两圆方程相减未完全消去二次项时，得到的方程表示过两交点的圆系方程，而非直线。例如：

$$

x^2 + y^2 + d_1x + e_1y + f_1 = \lambda (x^2 + y^2 + d_2x + e_2y + f_2)

$$

该方程表示包含两交点的所有圆，需通过参数 $\lambda$ 进一步确定。

综上，两圆方程相减得到公共弦方程的原理基于代数消元和几何交点共线的性质，是解析几何中常用的方法。