当一条直线与曲线在某点相切时，导数在该点的几何意义表现为切线的斜率。具体关系如下：

一、导数与切线斜率的关系

导数的几何意义

若曲线$y = f（x）$在点$（x_0, y_0）$处可导，则$f'（x_0）$表示曲线在该点的切线斜率。

直线与曲线相切的条件

若直线$y = kx + b$与曲线$y = f（x）$在点$（x_0, y_0）$处相切，则满足：

- $f'（x_0） = k$（切线斜率相等）；

- $（x_0, y_0）$同时在曲线和直线上，即$y_0 = f（x_0）$且$y_0 = kx_0 + b$。

二、应用示例

以直线$y = kx - 3$与曲线$y = \ln x$相切为例：

1. 求曲线导数：$（\ln x）' = \frac{1}{x}$；

2. 设切点为$（x_0, \ln x_0）$，则切线斜率$k = \frac{1}{x_0}$；

3. 联立方程组：

$$

\begin{cases}

\ln x_0 = \frac{1}{x_0} \cdot x_0 - 3 \\

\frac{1}{x_0} = \frac{1}{x_0}

\end{cases}

$$

解得$x_0 = -0.5$（舍去负值），$k = -2$。

三、注意事项

若直线与曲线有多个切点，则需通过联立导数方程和曲线方程求解参数；

两条曲线相切时，切点处导数相等且函数值相等。

通过以上分析可知，导数在判断直线与曲线相切问题中起着关键作用，既可用于验证相切条件，也可用于求解相关参数。