关于“一只猫和一只老鼠”的成语，综合搜索结果分析如下：

一、核心成语

猫鼠同眠

- 含义：

猫与老鼠本为天敌，却同处一室，比喻官吏失职包庇下属或上下狼狈为奸。 - 出处：《新唐书·五行志》记载“龙朔元年十一月，洛州猫鼠同处”，原指猫因失职导致鼠类泛滥。

猫鼠同处

- 含义：

与“猫鼠同眠”相近，强调对立双方因利益结合而和平共处。

二、其他相关成语

猫哭老鼠：比喻假慈悲，伪装同情。

猫鼠同乳：指官吏包庇下属犯罪，与“猫鼠同眠”类似。

捉鼠拿猫：形容能制服强敌，与猫鼠关系无关。

三、成语结构与用法

结构：主谓宾结构，如“猫鼠同眠”中“猫鼠”是主语，“同眠”是谓语。

用法：多用于贬义语境，如“他包庇下属，真可谓猫鼠同眠”。

四、例句参考

正面语境：在特殊时期，双方需“猫鼠同眠”共渡难关。

贬义语境：他因失职导致腐败滋生，被指“猫鼠同眠”。

综上，最贴切的成语是 猫鼠同眠，既符合字面描述，又承载了丰富的文化内涵。