三角函数万能公式 $\tan \alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$ 的推导过程如下：

设定变量

设 $\tan\frac{\alpha}{2} = t$，则 $\sin\alpha = 2t/（1+t^2）$，$\cos\alpha = （1-t^2）/（1+t^2）$。

利用三角函数的定义

根据 $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，将 $\sin\alpha$ 和 $\cos\alpha$ 的表达式代入，得到：

$$

\tan\alpha = \frac{2t/(1+t^2)}{(1-t^2)/(1+t^2)} = \frac{2t}{1-t^2}

$$

化简

将分子分母同时乘以 $1+t^2$，得到：

$$

\tan\alpha = \frac{2t(1+t^2)}{(1-t^2)(1+t^2)} = \frac{2t}{1-t^4}

$$

进一步化简

注意到 $\tan\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$，将 $\tan\frac{\alpha}{2} = t$ 代入，得到：

$$

\tan\alpha = \frac{2t}{1-t^2}

$$

验证

通过三角函数的周期性，可以验证所得公式的正确性。

综上所述，三角函数万能公式 $\tan \alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$ 可以通过设定 $\tan\frac{\alpha}{2} = t$，并利用三角函数的定义和代数变换推导得出。