在高等数学中，有许多有用的代换公式可以帮助简化复杂的计算。以下是一些常见的万能代换公式：

三角代换

设 $\theta$ 为任意角，则有 $\tan \theta = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$。

指数代换

令 $x = e^t$，则 $t = \ln x$。

对数代换

$\log_a（1 + x） \sim \frac{x}{\ln a}$。

三角函数的万能代换

当 $x \to 0$ 且 $x \neq 0$ 时，有以下等价无穷小关系：

$x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x$。

$\ln（1 + x） \sim e^x - 1$。

$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$。

$\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$。

$（1 + bx）^a - 1 \sim abx$。

其他有用的代换

$a^x \sim x \ln a$。

$（1 + x）^n - 1 \sim nx$。

这些代换公式在处理积分、求极限等问题时非常有用，可以大大简化计算过程。在使用这些公式时，需要注意代换的适用范围和条件，以确保代换的正确性。